公差分析中的统计公差方法综述
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2008年第42卷Na0 43
公差分析中的统计公差方法综述
王 平 沈 晓 阳
天津科技大学
摘 要：公差分析是公差设计中的重要问题，公差分析方法分为极值法和统计公差方法两类，其中大多数方法
是以概率统计原理为基础的统计公差方法。本文介绍了常用的公差分析方法，包括极值法、方和根法、修正的方和
根法、蒙特卡洛模拟法、田口试验法和卷积方法等，并对这些方法进行了比较，阐述了统计公差方法的适用性。
关键词：公差分析，统计公差，方和根法，蒙特卡洛模拟法，田口试验法，卷积法
Revie w of Statistical Tolerancing Methods in Tolerance Analysis
Wang Ping Shen Xiaoyang
Abstract:Tolerance analysis is an important problem in tolerance design.The methods oftolerance analysis can be divided
into two kinds:worst case and statistical tolerancing,and most ofthe methods are statistical tolerancing methods which are based
upon principles ofprobability and statistics.The paper introduce firstly tolerance analysis methods in common use,which include
Worst Case,Root Sum Squared,Modified Root Sum Squared,Monte Carlo Simulation,Taguchi Test Method,Convolution Method
and so on,then it carried on the analysis and comparison to these methods,and finally it expounds an applicability of each statisti-
cal tolerancing method.
Key words tolerance analysis,Statistical Tolerancing,Root Sum Squared,Modified Root Sum Squared,Monte Carlo
Simulation,Taguchi Test Method,Conwolution Method
1 引 言
公差设计问题可以分为两类， 一类是公差分析
( Tolerance Analysis, 又称正计算),即已知组成环的
尺寸和公差，确定装配后需要保证的封闭环公差；另
一类是公差分配(Tolerance Allocation,又称反计算),
即已知装配尺寸和公差，求解组成环的经济合理公
差。由于一般尺寸链由多个组成环组成，所以分配
方案是多种多样的[1~4]。
公差分析的方法有极值法和统计公差方法两
类，根据分布特性进行封闭环和组成环公差的分析
方法称为统计公差法[5。
为了便于描述，先定义公差函数。公差函数是
尺寸链中欲求解封闭环或组成环与已知组成环和封
闭环函数关系的表达式，设公差函数为：
y=f(x₁,x₂,…,xn) (1)
式 中 ，y为欲求解的封闭环或组成环的尺寸及偏差；
n 为已知组成环和封闭环的个数；x₁,x₂,…,xn 为 相
互独立的已知的组成环和封闭环的尺寸及偏差。
对于线形尺寸链，可以从极值法的公式中推导
出公差函数；对于非线性尺寸链，公差函数没有统一
的表达式，要根据尺寸链的几何关系确定。显然，线
形尺寸链的公差函数是线性函数，非线性尺寸链的
天津市应用基础重点基金资助项目(项目编号：06
YHZJC00500)
收稿日期：2008年3月
公差函数是非线性函数。
2 极 值 法
极值法(Worst Case ,WS)的出发点是：当所有增
环均为最大极限尺寸、且所有减环均为最小极限尺
寸时，获得封闭环的最大极限尺寸；当所有增环均为
极小极限尺寸、且所有减环均为最大极限尺寸时获
得封闭环的最小极限尺寸。
(2)
式 中 ，Ao 为封闭环基本尺寸；n为组成环的个数；A;
为第i 个组成环的基本尺寸；3;为第i 个组成环的
传递系数(对于增环ζ;=1,对于减环ζ;=-1)。
(3)
式中，Ta 为封闭环的公差；Ti为组成环的公差。
极 值法 是建 立在 零件10 0% 互 换基 础上 ，是 尺
寸链计算的一种最简单的方法。但实际上尺寸链中
各组成环和封闭环的尺寸公差是随机变量，按极值
法计算的公差势必过于保守，使组成环公差减小，零
件加工精度要求提高，制造成本增加2]。
3 统 计 公 差 方 法
统计公差方法主要是指方和根法与修正的方和
根法[1~5],由于蒙特卡罗模拟法、田口试验法和卷积
法也是根据概率论与数理统计理论进行公差分析
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44 工具技术
的，所以本文把它们也划分为统计公差方法。
3.1 方和根法(又称概率法、统计法)
方和根法(RSS,Root Sum Squared)是以一定的
置信水平为依据(通常假定封闭环趋近正态分布，取
置信水平 P=99.73%), 不要求100%互换，只要求
大数互换[2]。封闭环的统计公差 Tos为
(4)
式中，Ko,K;为封闭环和第i个组成环的相对分布
系数。
封闭环中间偏差
(5)
式中，△o,△ 为封闭环和第i 个组成环的中间偏差；
ei 为第i个组成环的相对不对称系数。
对于正态分布，Ko=1,e;=0; 对于三角分布，Ko
=1.22,ei=0; 对于瑞利分布，Ko=1.44,ei=-
0.28;其它各种常见分布的相对分布系数 Ko和相对
不对称系数e可查表得到1,21。
3.2 修正的方和根法
修 正 方 和 根 法(MRSS,Modified Root Sum
Squared)的基本公式为I³]
ToM=c To₁
(6)
式中，ToM为修正的方和根法求出的正态分布的封
闭环公差值；ce 为修正系数。根据 Greenwood 等 人
1987年的研究结果，c=1.4～1.7; 修正的方和根法
预测值将落在极值法与方和根法预测值之间(如图
1所示)[2,31。
组成环的数量
图 1 WC,RSS,MRSS的比较
在一般情况下，根据修正公差在极值法与方和
根法模型计算值之间的比例保持不变的原则对修正
系数进行推导，可得下式
(7)
当组成环公差平均分配或各组成环的分布范围
相差不大时，修正系数为1.5;研究表明，该值在生
产实际中最为常见。
然而，当尺寸链某一组成环为非正态分布，且公
差值又大大超过其他组成环，在整个尺寸链中处于
支配地位时，修正的统计模型的预测值将会由于偏
大而失败，除非在整个尺寸链有足够小公差的组成
环，恰好能抵消大公差组成环对整个尺寸链的控制
作用。造成这种现象的原因是按经验选取的修正系
数与公差值之间没有一致的关系[2,3,21~23]。
3.3 蒙特卡洛模拟法
用蒙特卡洛模拟法(Monte Carlo Simulation)进行
公差分析，就是把求封闭环尺寸及其公差的问题，当
作求一个随机变量的统计问题来处理。因此封闭环
尺寸及公差的确定，完全采用随机模拟和统计实验
的方法，在一定条件下，用这种方法得到的结果比较
符合实际情况3,4,14,22,23]。
用Monte Carlo 模拟法进行公差分析的具体步骤：
①明确各组成环的分布规律；
②根据计算精度要求确定随机模拟次数N;
③根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围，
分别对其进行随机抽样，从而得到一组已知组成环
和封闭环尺寸的随机抽样(X₁,X₂,…,Xn);
④将随机抽样(X₁,X₂,…,Xn) 代入公差函数，
计算未知的封闭环或组成环尺寸，得到该尺寸的一
个子样；
⑤将步骤③、④重复 N 次，即可得到封闭环尺
寸的N 个子样，构成一个样本；
⑥对求解的封闭环或组成环样本进行统计处
理，从而确定封闭环尺寸的平均值、标准差和公差等。
Monte Carlo模拟法的计算机流程框图如图2所
示。
输入已知组成环或封闭环尺寸
公差、分布特征和传递系数等
指定模拟次数
N
产生(0,1)均匀分布的随机数
是否正态分布 否
是进行其它分布
进行正态分布的随机抽样 的随机抽样
求解公差函数
y
否是否达到模拟次数N
是
计算
y
的均值、标准差、公差等
输出模拟计算结果
图2 MonteCarlo模拟法的计算机流程
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根据随机模拟理论，在对各组成环尺寸进行随
机模拟时，可通过先产生在(0,1)上均匀分布的随机
数，然后再根据随机抽样公式，换算成其它分布规律
的随机抽样。随机抽样公式是通过直接抽样、变换
抽样或舍选抽样等方法得到的。机械加工误差常用
分布的随机抽样如表1所示。
在(0,1)上均匀分布的随机数可以由高级程序
语言所提供的Random() 函数产生，在C语言是rnd(
)函数。
根据Lindeberg-Levy 定理，无论组成环随机变量
的分布如何，它的若干个独立随机变量抽样值之和
总是近似服从正态分布。经过分析，经过 N 次抽
样，蒙特卡洛模拟值与正态分布积分的误差ε可按
下式进行估计，
ε≤(λo)/JN (8)
式中，0为标准差；λ是与置信水平有关的参数(如
当置信水平1- α=99.73%时，λ=3)。根据式(8)
可以确定抽样次数 N。
表1常用分布的随机抽样
常用
概率密度函数f(x)
随机抽样公式(R为计
随机数)
)R+a
标准正
态分布
Xo三
J-2In R₁cos(2πR₂)
正态
分布
∞<x<∞,-∞<μ<∞,0>0
X₁=μ+0X₀
指数
分布
f(x)=Ae⁻,x≥0,λ>0
X=-(InR)/λ
三角
分布
X=a(2 √R-1)
Weibull
分布
x≥a>0,b>0,c>0
X=a+b(-In R)Ve
3.4 田口试验法
田口试验法(Taguchi Test Method)是一种试验设
计方法，试验设计的目的在于寻求试验因素的适宜
水平组合，减少试验工作量，实现质量系统的相对优
化。田口试验法中的每个因素采用三水平，其中第
一、二、三水平分别为 ui+0, √3/2、u; 和 u;-0;
√3/2。
在公差设计中所有设计变量(即组成环的尺寸)
就是试验设计中的因素。采用田口试验法进行公差
设计时，首先对所有设计变量的这三种水平进行组
合，共有总数 N=3" 种，然后分别计算出设计函数
值 Y₁,Y₂,…,Yn, 定 义 Y 的一阶、二阶、三阶、四阶
中心距分别为式(9)、(10)、(11)、(12):
(9)
(10)
(11)
(12)
求出各阶中心距之后，再根据封闭环尺寸的分
布，就可以算出相应的公差4]。如果封闭环尺寸分
布为正态分布，则公差为
(13)
田口试验法的精度只能达到3阶。为了提高计
算精度，一些学者提出了改进的田口试验法[41,它是
一种乘积高斯积分方法，并要求各组成环设计变量
为正态分布，可用于高于3阶的公差分析中。
3.5 卷积法
若一个线性尺寸链由两个组成环构成，这两个
组成环分别用随机变量x和y来描述。这两个相互
独立的随机变量 x 和 y 分别具有概率密度函数fx
(x),x∈[a,b] 和 fy(y),y∈[c,d]; 其封闭环 z=g
(x,y)=x+y 也是一个随机变量，其概率密度分布
函数为
(14)
或
(15)
这个公式称为卷积公式，这种方法称为卷积法
(Conolution Method)。卷积公式可推广到 n个相互
独立变量 x₁,x₂,x3,…,xn 的尺寸链中，对于封闭环
z(x1,x₂,x₃,…,xn) 概率密度函数的计算，可以先用
式(14)或式(15)求出 x₁ 和x₂ 的卷积，将其结果与
x3卷积，再将其结果与 x4 卷积，以此类推，直至(n
-1)阶卷积求出 z(x₁,x₂,x₃,…,xn) 概率密度函数。
对两个任意形式的概率密度函数有时很难利用解析
方法求出其卷积的解析解，可以利用数值方法求解
卷积的概率密度函数。当求出封闭环的概率密度函
数以后，可以根据其分布求出在任意装配成功率要
求时封闭环的公差值，其处理方法与正态分布时相
同(例如，对于正态分布，装配成功率为99.73%时
对应±30,公差值 T=60)。
对于随机变量的加减运算，卷积方法很早就在
理论上已被证明是可行的，但在实际运算时由于要
采用数值积分，计算过程比较繁琐，所以在公差分析
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2008年第42卷Na043公差分析中的统计公差方法综述王平沈晓阳天津科技大学摘要：公差分析是公差设计中的重要问题，公差分析方法分为极值法和统计公差方法两类，其中大多数方法是以概率统计原理为基础的统计公差方法。本文介绍了常用的公差分析方法，包括极值法、方和根法、修正的方和根法、蒙特卡洛模拟法、田口试验法和卷积方法等，并对这些方法进行了比较，阐述了统计公差方法的适用性。关键词：公差分析，统计公差，方和根法，蒙特卡洛模拟法，田口试验法，卷积法ReviewofStatisticalTolerancingMethodsinToleranceAnalysisWangPingShenXiaoyangAbs...
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作者：多多猪
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